|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Математическое моделирование и вычислительный эксперимент – новое направление в научных исследованиях. Основные этапы решения прикладных задач с помощью ЭВМ.
Математическая модель. Для решения прикладной задачи с помощью ЭВМ для реального объекта, процесса или системы должна быть построена математическая модель. Математическая модель в количественной форме с помощью математических соотношений описывает свойства объекта, его параметры и внутренние и внешние связи.
Для построения математической модели необходимо следующее:
1) тщательно проанализировать реальный объект, процесс или систему;
2) выделить наиболее существенные черты и свойства;
3) определить переменные (параметры, значения которых влияют на основные черты и свойства объекта, процесса или системы);
4) описать зависимость основных свойств объекта, процесса или системы от значений переменных с помощью математических соотношений;
5) определить внутренние и внешние связи и описать их с помощью уравнений и ограничений.
Математическая модель никогда не бывает полностью тождественна объекту, процессу или системе. Она строится на основе упрощений и является приближением объекта, процесса или системы. Для любого объекта, процесса или системы можно построить множество математических моделей.
Все методы решения прикладных задач можно разделить на две группы: точные и численные.
В точных методах ответ удаётся получить в виде математических формул.
В численных методах решение сложных математических задач сводится к последовательному выполнению большого числа арифметических действий.
Вычислительный или математический эксперимент основан на:
1) построении математической модели для описания изучаемых процессов;
2) использовании новейших ЭВМ.
Суть вычислительного эксперимента состоит в следующем: на основе различных вариантов математических моделей с помощью ЭВМ проводятся исследование свойств объекта, процесса или системы, находятся их оптимальные параметры и режимы работы, уточняется математическая модель.
Моделирование нелинейных систем с одной степенью подвижности. Численные методы решения нелинейных уравнений.
Построить математическую модель кривошипно-шатунного механизма.
Ход ползуна описывается уравнением:
Прямая задача кинематики: ( ( S
Обратная задача кинематики: S ( (
Необходимость отыскания корней нелиней ных уравнений встречается при расчетах систем управления и регулирования, собственных коле баний машин и механизмов, задачах кинематического анализа и синтеза плоских и пространственных механизмов и т.д.
Дано: f(x)=0 (1)
Необходимо решить это уравнение.
Если функция f(x) имеет вид многочлена , то уравнение (1) называется алгебраическим и имеет m корней.
Пример: .
Если f(x) включает в себя тригонометрические или экспоненциальные функции то f(x)=0 называется трансцендентным.
Пример:
Не всякое уравнение может быть решено точно (трансцендентное), но в прикладных задачах это не является необходимым. Задачу отыскания корней можно считать практически решенной, если мы сумеем определить корни с заданной точностью (.
Процесс определения корней нелинейных уравнений состоит из двух этапов:
1) отделение корней (определение интервалов изоляции [a; b], внутри которых лежит каждый корень уравнения);
2) уточнение корней (сужение интервала изоляции до величины, равной ().
Процесс отделения корней проводят, как правило, исходя из физического смысла прикладной задачи: графически, с помощью таблиц, при помощи специальной программы. Считают, что интервал [a; b] при решении прикладных задач задан.
Для алгебраических и трансцендентных уравнений пригодны одни и те же методы уточнения корней:
1) метод половинного деления;
2) метод итераций;
3) метод Ньютона (касательных);
4) метод хорд;
метод секущих и др.
Метод половинного деления
Дано уравнение f(x)=0. Необходимо решить его с заданной точностью (, если известен интервал изоляции [a; b].
Словесный алгоритм.
делим интервал [a; b] пополам. – координата середины отрезка
в качестве нового интервала изоляции принимаем ту половину интервала [a; b], на концах которой функция имеет разные знаки. Для этого:
вычисляем значение функции в точках a и t;
проверяем: если f(a)(f(t)<0, то корень находится в этой половине интервала. Тогда b = t. Если условие не выполняется, то корень находится на интервале [t; b] и a = t. В обоих случаях получаем новый интервал [a; b], длина которого в 2 раза меньше предыдущего интервала.
итерационный процесс повторяем, начиная с первого пункта до тех пор, пока длина [a; b] не станет равной или меньше (, то есть пока не выполнится условие .
Блок-схема алгоритма.
Метод итераций
Для применения данного метода исходное уравнение f(x)=0 должно быть преобразовано к виду x = ((x).
Пример:
В качестве начального приближения x0 принимаем любую точку интервала [a; b]. Далее итерационный процесс поиска строится по схеме: x1 = ((x0)
x1 = ((x0)
x2 = ((x1)
x3 = ((x2)
:
В результате схождение к корню реализуется рекуррентной формулой:
xn+1 = ((xn)
Итерационный процесс поиска прекращается, как только выполняется условие .
Текущая страница: 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
